Mazurkiewicz: Abstract und Zusammenfassung

Die logische Begründung der Zahl bei Hegel und Frege

Die philosophischen Theorien der Mathematik von Frege und Hegel könnten als gänzlich unterschiedlich erscheinen. Dennoch haben ihre beiden begrifflichen Begründungen der Zahl gewisse Gemeinsamkeiten. Diese Perspektiven möchte ich vergleichen. Meine Hypothese ist die folgende: trotz des historischen Abstands und zwei verschiedener Terminologien, entdecken wir in Hegel einen Versuch, abzuleiten, was Frege einfach postuliert und als solches eine Quelle von Paradoxien war; nämlich eine Theorie der Beziehungen zwischen Einheit und Vielheit.

Von Stany Mazurkiewicz, Dresden.

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Die philosophischen Systeme von Frege und Hegel werden oft als völlig entgegengesetzt betrachtet. Dennoch haben ihre beiden Vorstellungen der Zahl, die wichtigste Kategorie der Mathematik, gewisse Gemeinsamkeiten.

Erstens sind die Zahlen keine empirischen oder intuitiven (im kantischen Sinn) Kategorien. Folglich sind sie begriffliche Kategorien, die eine strenge logische Begründung benötigen. Zweitens sind die Zahlen sozusagen Meta-Begriffe. Nach Hegel setzen die Quantitätskategorien die Logik der Qualität voraus und sind von dieser abgeleitet. So ist die Quantität durch ihre Gleichgültigkeit gegen die qualitativen Bestimmungen charakterisiert. Nach Frege sind die Zahlen Begriffe, die nur andere Begriffe subsumieren können. Dadurch sind sie allgemein anwendbar, d.h. vom (qualitativen) Kontext unabhängig. Drittens wird von beiden Philosophen das logische Problem, um das Verhältnis zwischen dem qualitativen und dem quantitativen Bereich zu erklären, als die Frage der Einheit und der Vielheit bestimmt. Das ist zweifellos der schwierigste Punkt, mit dem Frege und Hegel sich sicher voneinander trennen. Meine Hypothese ist, dass Hegel, in der Dialektik von Eins und Viele, ableiten will, was Frege nur postuliert. Diese Perspektive scheint mir interessant, da es diese Schwierigkeiten sind, die Freges System zu den berühmten Paradoxien geführt haben.

Nach Frege sind die qualitativen Bestimmungen nicht Eigenschaften von Gegenständen, sondern eines Begriffes. Somit können solche bestimmten Begriffe eine willkürliche Zahl von Gegenständen, die den Eigenschaften des Begriffes entsprechen, subsumieren. Diese Gegenstände machen den Umfang (oder die Extension) des Begriffes aus. Also gehören z.B. zum Umfang des Begriffes „Planeten des Sonnensystems“ acht Elemente, die wir zählen und unterscheiden können. Daher können die Zahlen als Meta-Begriffe definiert werden. Z.B. dem Begriff „acht“ wird die Eigenschaft „gleichzahlig dem Begriff (erster Ordnung) ‚Planeten des Sonnensystems‛“ gegeben. So gehört dieser erste Begriff zum Umfang des Begriffes „acht“, genau wie auch die Begriffe „Unsterblichen der taoistischen Religion“, „Beine einer Spinne“ und unendlich Andere.

Aber die Qualitäten werden nie einfach „neutralisiert“. Das Problem, das Verhältnis zwischen Begriff und Umfang zu denken, bleibt. Dazu gibt es zwei Forderungen. Um die Planeten des Sonnensystems als acht Planeten zu bestimmen, muss ich sie in eine Klasse vereinigen, um sie von anderen Klassen zu unterschieden (Kometen, Satelliten, usw. müssen nicht betrachtet werden um das Ergebnis acht zu treffen). Aber um eine wahrhafte Sammlung von acht Gegenständen aufzubauen, muss ich auch alle einzelnen Planeten von den jeweils Anderen unterscheiden können (achtmal den gleichen Planeten zählen bedeutet nicht acht verschiedene Planeten zu zählen, als die Gleichzähligkeit, die den Begriff der Zahl definiert, von Frege auf eine eins-zu-eins bijektive Funktion gegründet wird). „So schien es, daß wir den Einheiten zwei widersprechende Eigenschaften beilegen müßten: die Gleichheit und die Unterscheidbarkeit“ (Grundlagen der Arithmetik, §45). Die Lösung Freges ist die Folgende: die Gegenstände sind gleich vom Standpunkt des einen Begriffes, dem sie entsprechen, aber unterschiedlich, als sie alle selbst, als Gegenstände, dem Begriff entsprechen. Doch auf diese Weise bleibt das Subsumptionsverhältnis, die Beziehung zwischen Intension und Extension, zwischen Einheit und Vielheit kaum erklärt. Dieser wenig kritische Gebrauch einer Theorie der Menge wird Frege in eine Paradoxie stürzen; die 1902 von Russell entdeckt wurde. Der Ursprung dieser Paradoxie ist genau das – nach Frege grundlegende – Gesetz, nach dem identische Begriffe identischen „Wahrheitswertverläufen“ (also Extensionen) entsprechen.

Selbstverständlich schrieb Hegel lange vor Frege oder Cantor. Man kann nicht einfach erwarten, eine explizite Mengentheorie in der Wissenschaft der Logik zu entdecken1. Gleichwohl werde ich behaupten, dass die Vermittlung zwischen Qualität und Quantität, d.h. das Kapitel von Fürsichsein, eine gründliche logische Theorie der Menge darstellt. Paradoxerweise könnte die Unaktualität Hegels auch einige Relevanz bedeuten. Nach den Paradoxien Russells und der Gödel‛schen Unvollständigkeit, erschienen die Frege‛schen Pläne undurchführbar zu sein. Es lohnt sich, Versuche, die vor Frege kamen, von unserem Standpunkt zu betrachten.

Die Sache ist ziemlich berühmt: nach Hegel sind Begriffe und ihre Elemente, Identität und Unterschied, wie Form und Inhalt keine festen „Bestandteile“, die voneinander getrennt werden könnten. Im Rahmen der Seinslogik gilt das für Einheit und Vielheit. Hegel fordert die Beziehung dieser beiden Bestimmungen in sich selbst – d.h. ohne eine existierende Vielheit von Gegenständen vorauszusetzen – zu denken. Sie sind sozusagen die proto-mathematischen Kategorien (das Eins und noch nicht die – mathematische – Eins). Das bedeutet auch, dass er diese Trennung zwischen gegenständlicher und begrifflicher Einheit, die nach Frege den Widerspruch zu vermeiden habe, ablehnt. Nach Hegel ist nämlich die Struktur der Einheit ganz paradox und sogar widersprüchlich. Das Ziel ist, diesem Widerspruch nicht auszuweichen sondern ihn zu überwinden.

Der Widerspruch stammt von der Tatsache, dass alle „Einheiten“ die Einheit sein sollen. Also in der Vielheit (die „viele Eins“) bezieht sich die Einheit – so Hegel – nur auf sich selbst. Die Vielheit ist also die konstitutive Struktur des Eins selbst. Das ist, Hegel drückt es klar aus, eine reflexive Struktur. Mit Hilfe der Wesenslogik werde ich probieren, diese Struktur zu klären, in Hinsicht einer Begründung der Mathematik. Tatsächlich finden wir dieses Paradox in den ersten Kategorien der Quantität wieder: die Dialektik von kontinuierlichen und diskreten Größen, von Einheit und Anzahl, usf. Ich werde meinen Vortrag nach gegenwärtigen Problemen öffnen. 1) Wie will Hegel diese logischen Paradoxien der Reflexivität übernehmen? 2) Wie nehmen die Hegelschen Strukturen Bezug auf eine verbreiterte Mathematik, wie die Mathematik der Unendlichkeit, die sich auch mit Paradoxien beschäftigen?


Anmerkungen

1 Zur Zeit Hegels ist jedoch eine Theorie der Menge nicht völlig undenkbar. Wir finden schon Elemente solcher Theorie ab 1810 bei Bernard Bolzano.